カスタム（JSON）形式を使用して1度の配信でiOS、Android両方にプッシュ通知を送信することはできますか？

はい。Androidでは後述の追加実装が必須となりますが、可能です。
カスタム（JSON）形式で配信する際のカスタムペイロードの中身を例示します。
apsキーとdataキーを組み合わせ、以下のように記述します。

{
  "audience": {
    "user_ids": [
    "user-1234"
  ]
　 },
  　　"notification": {
   　　 "custom_payload_ios": "{\"aps\":{\"alert\":{\"title\":\"YOUR_NOTIFICATION_TITLE\",\"body\":\"YOUR_NOTIFICATION_BODY\"},\"badge\":1}}",
     　"custom_payload_android": "{\"data\":{\"custom-title\":\"YOUR_NOTIFICATION_TITLE\",\"custom-message\":\"YOUR_NOTIFICATION_BODY\"}}"
  }
}

Androidでは、事前に定義されているキーがありません。

上記例であれば custom_title をハンドリングし、通知のタイトルとして表示できるよう、プッシュ通知受信時の動作をアプリケーション側で調整する実装を行う必要があります。
詳しくは 「プッシュ通知受信時の動作をカスタマイズする」 を確認してください。