HTMLアプリ内メッセージで、効果測定ができるアクションボタンを3つ以上設定することはできますか？

いいえ、できません。
HTMLアプリ内メッセージで設定できる、効果測定可能なアクションボタンは2つまでです。
テンプレートを利用せず、カスタムにてボタン1・2押下数として効果測定したい要素がある場合、それぞれに対して下記のHTML属性を付与してください。

• data-repro--primary-btn
• data-repro--secondary-btn

詳しくは「HTML アプリ内メッセージ」をご参考ください。