カスタム（JSON）形式を使用して1度の配信でiOS、Android両方にプッシュ通知を送信することはできますか？

はい。Androidでは後述の追加実装が必須となりますが、可能です。
カスタム（JSON）形式で配信する際のカスタムペイロードの中身を例示します。
apsキーとdataキーを組み合わせ、以下のように記述します。

{
  "aps": {
    "alert": {
      "title": "title for iOS",
      "body": "body for iOS"
    }
  }, 
  "data": {
    "custom_title": "title for Android",
    "custom_body": "body for Android" 
  }
}

Androidでは、事前に定義されているキーがありません。

上記例であれば custom_title をハンドリングし、通知のタイトルとして表示できるよう、プッシュ通知受信時の動作をアプリケーション側で調整する実装を行う必要があります。
詳しくは 「プッシュ通知受信時の動作をカスタマイズする」 をご覧ください。