プッシュ通知を受信したときにバッジを表示したい場合

http://docs.repro.io/ja/dashboard/campaign/push-notification.html#id12
に記載の通り、キャンペーン作成時にチェックボックスにチェックを入れることで実現できます。

バッジを消したい場合

基本的にはアプリ側で実装が必要です。公式ドキュメントの「バッジを消す」をご覧ください。
もし実装されていない場合は、カスタムJSONの機能をご利用になり、プッシュ通知を配信することで削除を行うことができます。

カスタムペイロードでバッジを表示させたい場合

プッシュAPIのカスタムペイロードを用いる場合の例

{
  "audience": {
    "user_ids": [
      "ユーザーID"
    ]
  },
  "notification": {
    "custom_payload": "{\"aps\":{\"badge\":1,\"content-available\":1}}"
  }
}

管理画面のカスタムJSON形式でプッシュ通知を配信する場合の例

{
  "aps":{
    "badge": 1,
    "content-available": 1
  }
}
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